具有大 systolic 比的曲面构造

设 $(M,g)$ 为 $m$ 维闭定向 Riemann 流形。我们将 $(M,g)$ 中最短的非可缩闭曲线称为 systole，并将其长度记为 $sys(M,g)$。令 $SR(M,g)=\frac{{sys(M,g)}^m}{vol(M,g)}$ 为 $(M,g)$ 的 systolic 比。用 $SR(k)$ 表示固定亏格 $k \neq 0$ 的曲面中 $SR(S,g)$ 的上确界。在第 2 节中，我们利用切割与粘贴技术，从 systolic 比接近最优值 $SR(k)$ 的曲面构造出具有大 systolic 比的曲面。对于所有 $k_i \geq 1$，这使我们能够证明：$$\frac{1}{SR(k_1 + k_2)} \leq \frac{1}{SR(k_1)} + \frac{1}{SR(k_2)}.$$ 此外，我们推导了关于 $SR_h(k)$（同调 systolic 比的上确界）的等价 inter-systolic 不等式。作为推论，我们极大地扩展了使得界限 $SR_h(k) \geq SR(k) \gtrsim \frac{4}{9\pi} \frac{\log(k)^2}{k}$ 成立的亏格 $k$ 的数量，并证明了对于所有 $k \geq 76$，有 $SR_h(k) \leq \frac{(\log(195k)+8)^2}{\pi(k-1)}$。在第 3 节中，我们进一步拓展了这一思想，从低维流形构造出具有大 systolic 比的乘积流形。