算术黎曼曲面沿同余子群的最短闭合测地线长度的对数增长
微分几何
2007-05-23 v2 数论
环与代数
摘要
我们将四元数代数中阶的研究应用于黎曼曲面的微分几何。双曲曲面上闭合测地线的最短长度称为其收缩长度（systole），记作 sysπ₁。P. Buser 与 P. Sarnak 构造了黎曼曲面 X，其收缩长度在亏格 g(X) 中呈对数行为。他们例子中的富克斯群是固定算术群（具有有理迹域）的主同余子群。我们将此构造推广到任意算术曲面的主同余子群。关键工具是对四元数代数中任意理想都成立的新迹估计。我们对赫维茨曲面（PCH）的主同余塔得到了特别尖锐的界，即 4/3-界 sysπ₁(X_{PCH}) > 4/3 \log(g(X_{PCH}))。对双曲 3-流形的收缩长度相对于其单纯体积也得到了类似结果。
引用
@article{arxiv.math/0505007,
title = {Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups},
author = {Mikhail G. Katz and Mary Schaps and Uzi Vishne},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0505007},
year = {2007}
}
备注
25 pages. To appear in Journal of Differential Geometry