几何框架下构造的对数黎曼面

对数黎曼面 $\Sigma_{\log}$ 是一个经典的全纯 1-流形。它位于 $R^4$ 中并诱导出由 exp 定义的 $C - 0$ 的一个覆盖空间。本文给出它的一种几何构造，作为一列向量场的极限得到，这些向量场将 exp 适当扩张为 C 到 $R^3$ 的嵌入，其成为位于 $C \times R$ 中的螺旋面。在极限中我们得到该覆盖空间上一个双射复指数，从而一个良定义的复对数。此外，这些螺旋面是 $\Sigma_{\log}$ 作为位于 $R^3$ 中光滑实现的微分同胚（非双全纯）拷贝，无阻碍。我们的方法是纯几何的，不使用复结构提供的任何工具，因此全纯性对于构造性地得到此黎曼面 $\Sigma_{\log}$ 不再必要。而且，我们所采用的微分几何框架便于在 $C^m \times \R^m$ 的子流形上显式推广，并导出若干推论。