Kerr 时空上短程非负势的超辐射不稳定性及其应用

在次极端 Kerr 时空 $(\mathcal{M}_{M,a},g_{M,a})$, $0<|a|<M$ 上的波动方程 $\square_{g_{M,a}}\psi=0$ 不容许实模态解，这由 Shlapentokh-Rothman 确立。本文中，我们证明实模态的缺失在波动方程添加任意短程非负势 $V$ 后或在 $\mathcal{M}_{M,a}$ 远处区域改变度量 $g_{M,a}$（保持 $T$ 的因果性）时不再保持。特别地，我们首先对任一 $0<|a|<M$ 证明，对适当选取的时空无关实势 $V$（具有空间紧支集，满足 $V\ge0$），方程 $\square_{g_{M,a}}\psi-V\psi=0$ 存在实模态解 $\psi$。在扰动势 $V$ 后也获得指数增长模态。然后，作为上述结果的应用，我们构造一族时空 $(\mathcal{M}_{M,a},g_{M,a}^{(def)})$，它们是 $(\mathcal{M}_{M,a},g_{M,a})$ 的空间紧扰动，具有与 $(\mathcal{M}_{M,a},g_{M,a})$ 相同的对称性，并且容许实模态和指数增长模态。这些时空包含稳定捕获零测地线，但我们也构造了更复杂的具有正规双曲捕获集的时空族，容许实模态和指数增长模态，代价是具有锥形渐近。上述结果不同于平稳渐近平坦（或锥形）时空 $(\mathcal{M},g)$ 且具有全局类时 Killing 场 $T$ 的情形，其中方程 $\square_{g}\psi-V\psi=0$ 的实模态总是缺席，给出了用于证明光滑方程族 $\square_{g}\psi-V_{\lambda}\psi=0$（$\lambda\in[0,1]$ 且 $V_{0}=0$）稳定性的有用零频连续性判据。我们明确展示该判据在 Kerr 时空中失效。