标量波 Friedman 能层不稳定性的证明

设 $(\mathcal{M}^{3+1},g)$ 为一个实解析、平稳且渐近平坦的时空，具有非空能层 $\mathscr{E}$ 且无未来事件视界 $\mathcal{H}^{+}$。在此类时空中，Friedman 提供启发式论证： $\square_{g}\phi=0$ 的某些解 $\phi$ 的能量随时间增加而增长至 $+\infty$。本文给出 Friedman 不稳定性的严格证明。事实上我们的设定更一般。我们考虑任意 $d\ge2$ 的光滑时空 $(\mathcal{M}^{d+1},g)$，不必全局实解析。我们仅要求在 $\mathscr{E}$ 的边界 $\partial\mathscr{E}$ 上点 $p\in\partial\mathscr{E}$ 的某个邻域内波动方程跨边界的唯一延拓条件。若 $(\mathcal{M},g)$ 在该 $p$ 邻域内解析，此条件总成立；但当 $(\mathcal{M},g)$ 具有第二 Killing 场 $\Phi$ 使得 $\Phi$ 与平稳 Killing 场 $T$ 的张成在 $\partial\mathscr{E}$ 上为类时，也可推断成立。我们也允许所考虑的时空 $(\mathcal{M},g)$ 具有（可能空的）未来事件视界 $\mathcal{H}^{+}$，但满足 $\mathcal{H}^{+}\cap\mathscr{E}=\emptyset$（从而排除 Kerr 外部族）。作为定理应用，我们推出流体动力学涡旋上声学波动方程的不稳定性结果，该现象首先由 Oliveira, Cardoso 和 Crispino 数值研究。此外，作为证明的附带好处，我们给出基于纯矢量场方法的、在一般平稳渐近平坦时空能层外部推导 Carleman 型估计。