上鞅影子耦合：递减情形

对于处于凸递减序的两个测度 $\mu$ 和 $\nu$，Nutz 与 Stebegg（Canonical supermartingale couplings, Ann. Probab., 46(6):3351--3398, 2018）研究了带上鞅约束的最优传输问题，并引入了两种典型耦合，即递增与递减传输计划，它们对一大类代价函数是最优的。本文通过建立 Brenier 型结果给出递减耦合 $\pi^D$ 的显式构造：（广义的）$\pi^D$ 集中于两个函数的图上。我们的构造基于上鞅 \textit{影子} 测度的概念，并需要对 Juillet（Stability of the shadow projection and the left-curtain coupling, Ann. Inst. H. Poincar\'e Probab. Statist., 52(4):1823--1843, November 2016）以及 Beiglb\"ock 与 Juillet（Shadow couplings, Trans. Amer. Math. Soc., 374:4973--5002, 2021）在鞅情形下建立的结果作适当推广。特别地，我们证明了上鞅影子测度关于初始与目标测度 $\mu,\nu$ 的稳定性，引入了一类通过影子测度产生的提升上鞅耦合无穷族，并展示如何显式确定每个此类耦合的“鞅点”。