左帘耦合的一种构造

在鞅最优传输(MOT)问题中，依据分布 $\mu$ 的质量被传输至分布 $\nu$，且需满足鞅性质。Beiglböck与Juillet (On a problem of optimal transport under marginal martingale constraints, Annals of Probability, 44(1):42-106, 2016) 引入了MOT问题的一个解，并称之为左帘耦合(left-curtain coupling)。左帘耦合已被广泛研究，并显示出诸多应用，包括鞅不等式与美式期权的模型无关定价。Beiglböck与Juillet证明了其存在性与唯一性，证明了一族代价函数下的最优性，并证明当 $\mu$ 为连续分布时，点 $x$ 处的质量被映射至至多两个点，给出上下函数。Henry-Labordère与Touzi (An explicit martingale version of Brenier's theorem, Finance and Stochastics, 20:635-668, 2016) 证明了左帘耦合在扩展代价函数族下的最优性，并在 $\mu$ 与 $\nu$ 连续及若干技术性简化假设下给出了上下函数的构造。本文中，我们在任意中心化测度按凸序排列的一般情形下构造了这些上下函数，从而给出左帘耦合的完整构造。在 $\mu$ 含原子时，这些上下函数应按提升鞅(lifted martingale)的意义理解。