影子耦合

Strassen 的一个经典结果断言，给定实数轴上处于凸序下的概率分布 $\mu, \nu$，存在以这些分布为边缘分布的鞅耦合，即随机向量 $(X_1,X_2)$ 满足 $X_1\sim \mu, X_2\sim \nu$ 且 $E[X_2|X_1]=X_1$。值得注意的是，构造该问题的特定解是一个非平凡问题。在本文中，我们引入了这样一族鞅耦合，其中每一个在最优性性质/支撑集几何/通过 Skorokhod 嵌入表示方面都有几种特征化。作为该族的一个特定元素，我们恢复了（左）帘鞅输运，它最近在 \cite{BeJu16, HeTo13, CaLaMa14, BeHeTo15} 中被研究，并且可以被视为经典单调重排的鞅类比。作为该族的另一个典范元素，我们确定了一种类似于通常乘积耦合的鞅耦合，并在 Gozlan 等人最近引入的一般输运问题中作为优化器出现。此外，该耦合提供了 Lipschitz 核的一个显式例子，为 Kellerer 关于具有指定边缘分布的马尔可夫鞅存在性的证明提供了新视角。