有向图中的新类Menger对偶性及其在半整连接问题中的应用
组合数学
2023-06-29 v1 数据结构与算法
摘要
我们提出了有向图中满足特定条件的路径数与相应割的阶之间的新的极小极大关系。我们定义这些对象是为了在求解半整连接问题的背景下，捕捉从终端集到达拥塞为二（或任意其他常数）的大丛(bramble)所需的基本性质。该策略已在多篇文章中临时使用，通常伴有冗长的技术性证明，而我们的目标是将其抽象化，使其以更简单统一的方式适用。我们给出了极小极大关系的两种证明：一种是在适当定义的辅助有向图上应用Menger定理，另一种是使用拟阵的更简单的替代证明，但具有更差的多项式运行时间。作为一个应用，我们设法简化并改进了Edwards等人[ESA 2017]以及Giannopoulou等人[SODA 2022]关于在有向图中寻找半整连接的若干结果。对于前者，除了更简单之外，我们的证明为在有向图存在拥塞为二的大丛（或等价地，若有向树宽较大，即困难情形）时其半整可行所需的强连通性提供了近乎最优的界。对于后者，我们的证明使用丛作为重路由对象而非柱形网格，从而给出了好得多的界，并且在某种程度上独立于特定拓扑。我们希望我们的极小极大关系能找到进一步的应用，因为我们认为它们简单、稳健且通用，可轻易应用于有向图中不同类型的路由问题。
引用
@article{arxiv.2306.16134,
title = {New Menger-like dualities in digraphs and applications to half-integral linkages},
author = {Victor Campos and Jonas Costa and Raul Lopes and Ignasi Sau},
journal= {arXiv preprint arXiv:2306.16134},
year = {2023}
}