二维 Euler 方程中 Kolmogorov 流与 Poiseuille 流附近的定常结构

我们研究了不可压缩二维 Euler 方程在两类具有临界点的典型剪切流——Kolmogorov 流与 Poiseuille 流——附近的解的行为，并给出了对相关 Navier-Stokes 问题的推论。我们展示了一大类新的、非平凡的解析正则性定常态，它们在平方环面 $\mathbb{T}^2$ 上任意接近 Kolmogorov 流。这一情形与某些单调剪切流（如 Couette 流）的设置形成强烈对比：在两种情况下，线性化问题都展现出一种“无粘阻尼”机制，使得基流扰动能弛豫回附近的剪切流。尽管对于某些单调剪切流的适当小且正则的扰动，这一效应在非线性和解中持续存在，但对于 Kolmogorov 流，我们的结果表明这是不可能的。我们对这些定常态的构造建立在 $\mathbb{T}^2$ 上 Kolmogorov 流的全局结构中的退化性之上。在这一点上，矩形环面上的 Kolmogorov 流与渠道中的 Poiseuille 流非常不同，我们表明它们附近唯一的定常态必定是剪切流，即使在相对较低的正则性 $H^3$ 与 $H^{5+}$ 下也是如此。此外，我们表明这一行为在相关的 Navier-Stokes 设置中被紧密镜像：Poiseuille 流与 Kolmogorov 流附近的线性化问题都展现出增强的耗散率。我们及他人先前的工作表明，只要扰动低于某一阈值，这一效应在 Poiseuille 流附近以及矩形环面上的 Kolmogorov 流附近的非线性完全问题中仍然存在。然而，我们在此证明，相应的结果在 $\mathbb{T}^2$ 上的 Kolmogorov 流附近不可能成立。