稳态层流的几何刻画

我们研究了周期通道或环形区域上Euler方程的稳态。我们证明，如果这些流动是层流的（由闭的非可缩的流线分层，这些流线叶状覆盖整个区域），那么它们必须是平行流或圆周流。我们还证明，这些剪切流中的很大一部分与非剪切稳态是孤立的。对于Poiseuille流 $(v(y),0)=(y^2,0)$，我们的结果表明，在足够小的 $C^2$ 邻域内的所有稳态解都是剪切流。然后我们证明，如果 $v(y)=y^n$ 且 $n \geq 1$，那么在任意 $C^{n-}$ 邻域内，都存在光滑的非剪切稳态、行波以及任意多个不可公度频率的准周期解。这证明了Poiseuille流附近的刚性是精确的。最后，我们证明，在一般的紧致双连通区域上，边界上具有恒定速度的层流稳态Euler流也必须是平行流或圆周流，并且该区域是周期通道或环形区域。这表明层流自由边界Euler解必须具有欧几里得对称性。