Couette流附近被动标量方程的伪Gevrey光滑性

在本文中，我们研究了流体动力学中两个重要线性方程的正则性理论：在$\mathbb T \times [-1,1]$中接近Couette流的（时变）剪切流的被动标量方程（扩散率$\nu \to 0$），以及右端项在类似被动标量的函数空间中行为的泊松方程。本研究的主要动机是为我们在配套工作中处理（非线性）二维Navier-Stokes方程所需的主要技术工具提供发展。两个方程均在齐次Dirichlet条件（Navier滑移型边界条件的类似物）下研究，初始条件取为远离壁面的紧支撑。我们发展了具有以下三个特征的光滑性估计：[1] 关于$\partial_x$和与时间相关的自适应向量场$\Gamma$（该场近似与被动标量方程交换，而非“平坦”导数）以及缩放梯度$\sqrt{\nu} \nabla$的一致$\nu$正则性；[2] $(\partial_x, \Gamma)$-正则性估计在Gevrey空间中进行，其正则性依赖于空间坐标$y$（我们称之为“伪Gevrey”）；[3] 这些伪Gevrey空间的正则性在通道中心附近退化为有限正则性，因此标准的Gevrey乘积规则和其他良好性质不成立。在这种精细函数设置下的非线性分析是我们配套论文\cite{BHIW24a}的关键要素之一，该论文证明了具有滑移边界条件的Couette流的完全非线性渐近稳定性。本文在这些退化的伪Gevrey空间中引入了相关线性问题的新估计，这具有独立的意义。