模空间拓扑中的稳定性现象

Madsen和Weiss最近对关于黎曼曲面模空间稳定上同调的Mumford猜想的证明，是模空间拓扑中一个重要稳定性定理的显著例子。本文综述了在其拓扑中出现“稳定性现象”的分类空间族和模空间族。在拓扑学和几何学的历史中，此类稳定性定理已在许多情形下得到证明，其成果往往非常显著。本文讨论了经典的稳定性定理，如Freudenthal悬垂定理、Bott周期性定理和Whitney嵌入定理。然后讨论了更现代的例子，包括流形中点的构型空间、复流形中的全纯曲线、规范理论模空间、一般线性群的稳定拓扑以及流形的伪同痕。接着讨论了关于黎曼曲面模空间的稳定性定理：关于模空间上同调的Harer稳定性定理，以及证明了Mumford猜想推广形式的Madsen-Weiss定理。我们还描述了Galatius关于自由群自同构稳定上同调的最新定理。最后，我们推测了可能预期出现这些稳定性现象的一般条件。