熵稳定及/或分裂格式高阶格式的局部能量稳定性问题

本研究聚焦于分析高阶（含分裂格式）求和-by-parts 方法对非线性守恒律的逼近的局部能量稳定性，例如采用两点熵守恒通量。我们的主要发现是：即使格式是非线性稳定的，局部能量稳定性（即数值增长率不超过连续问题的增长率）也无法保证，且这可能给模拟结果带来不利影响。我们证明熵守恒两点通量本质上局部能量不稳定，因为它们可能是耗散或反耗散的。遗憾的是，这些通量是许多常用高阶熵稳定推广的核心，包括分裂格式求和-by-parts 间断 Galerkin 谱元方法（或谱配置方法）。对于非线性 Burgers 方程，我们进一步通过数值证明此类格式在模拟中导致误差的指数增长。此外，对于可压缩 Euler 方程，在密度波的光滑精确解情形下，我们亦观察到类似的异常行为。最后，对同一情形，我们数值证明其他常见分裂格式，如 Kennedy 与 Gruber 分裂，也是局部能量不稳定的。