利用Sylvester-Vandermonde行列式的最小幂非剩余平方根界

我们给出了一个初等的新证明，表明在素数域 $\F_p$ 上的算术级数 $\{bn+c\}_{n=0,1...}$ 中，最小 $k$ 次幂非剩余的值以 $7/\sqrt{5} \cdot b \cdot \sqrt{p/k} + 4b + c$ 为界。我们的证明受所谓的 Stepanov 方法启发，该方法通过构造一个非零的低次辅助多项式，该多项式在解集上以高重数消失，从而界定方程组解集的大小。证明使用了基础代数和数论，以及一个同时推广 Sylvester 和 Vandermonde 行列式的行列式恒等式。