球面正焦曲线芽

本文证明了：对于 $n$ 维球面单位速率曲线 $\gamma: I\to S^n$、给定点 $P \in S^n$ 以及开区间 $I$ 中的点 $s_0$，曲线 $\gamma$ 相对于 $P$ 的球面正焦曲线芽 $ort_{\gamma, P}: (I, s_0)\to S^n$ 与 $\gamma$ 相对于 $P$ 的球面垂足曲线芽 $ped_{\gamma, P}: (I, s_0)\to S^n$（相应地，与 $\gamma$ 的球面对偶曲线芽 ${\bf u}_n: (I, s_0)\to S^n$）是 $\mathcal{L}$-等价的，当且仅当 $P\ne \pm{\bf u}_n(s_0)$（相应地，当 $P= \pm{\bf u}_n(s_0)$ 时）。