本质谱内的谱流 IV：$F^*F$ 是一个正则方向

设 $H_0$ 与 $V$ 为自伴算子，使得 $V$ 容许分解 $V = F^*JF$，其中 $J$ 为有界自伴算子且 $F$ 为 $|H_0|^{1/2}$-紧算子。自伴算子路径 $H_0 + rV$（$r \in \mathbb R$）的奇异谱流——亦称为谱流——穿过位于 $H_0$ 本质谱之外一点 $\lambda$ 的情形已被充分研究，并出现在微分几何与凝聚态物理等迥异领域中。当 $\lambda$ 位于本质谱内部时，若该路径在 $\lambda$ 处的谱流对至少一个耦合变量值 $r \in \mathbb R$ 使得范数极限 $$\lim_{y \to 0^+} F (H_0 + r V - \lambda - iy)^{-1} F^*$$ 存在，则谱流是良定义的。这就提出一个问题：给定自伴算子 $H_0$ 与 $|H_0|^{1/2}$-紧算子 $F$，对哪些实数 $\lambda$ 存在有界自伴算子 $J$ 使得上述极限存在？使该命题成立之实数 $\lambda$ 称为半正则的，而算子 $V = F^*JF$ 称为 $H_0$ 在 $\lambda$ 处的正则方向。本文证明：$\lambda$ 对 $H_0$ 为半正则的，当且仅当方向 $F^*F$ 是正则的。