本质谱内部的光谱流 III：本质谱附近的耦合共振

给定一个自伴算子 $H_0$ 和一个相对 $H_0$ 紧的自伴算子 $V,$ 函数 $r_j(z) = - \sigma_j^{-1}(z),$ 其中 $\sigma_j(z)$ 是紧算子 $(H_0-z)^{-1}V$ 的特征值，包含了关于算子对 $H_0$ 和 $V$ 的大量重要信息。我们称其为耦合共振。在秩为 1（且正）的扰动 $V$ 的情况下，只有一个耦合共振函数，它是一个 Herglotz 函数。这种情况在文献中已被深入研究，并出现在不同情境中，如 Sturm-Liouville 理论、随机 Schrödinger 算子、调和与谱分析等。一般情况的复杂性在于共振函数不再是单值全纯函数，且可能具有无穷多值全纯函数典型的相当不规则的行为。特别令人感兴趣的是那些当谱参数 $z=\lambda+iy$ 趋近于本质谱中的点 $\lambda$ 时，从区间 $[0,1]$ 趋近于实数 $r_{\lambda+i0}$ 的耦合共振函数 $r_z$，因为当 $H_0$ 通过路径 $H_0 + rV, r \in [0,1]$ 形变为 $H_1 = H_0+V$ 时，它们负责通过本质谱内部的 $\lambda$ 的光谱流。本文证明了，如果算子对 $H_0,$ $V$ 满足极限吸收原理，则耦合共振函数在本质谱附近具有良好的行为，含义如下。设 $I$ 为 $H_0$ 本质谱内部的一个开区间且 $\epsilon>0.$ 则存在 $I$ 的一个紧子集 $K$ 使得 $| I \setminus K | < \epsilon,$ 并且 $K$ 在上半复平面具有一个“非切向”邻域，使得任何耦合共振函数在该邻域内要么是单值的，要么在区间 $[0,1]$ 中不取实值。