谱平移函数弱收敛性的抽象方法及其在多维 Schrödinger 算子中的应用

我们研究 Hilbert 空间 $\cH_j$($j\in\bbN$)中抽象自伴算子对 $(H_j,H_{0,j})$ 所关联的谱平移函数序列 $\xi(\cdot;H_j,H_{0,j})$,在 $j\to\infty$ 时(模拟具体应用于多维 Schrödinger 算子时的无穷体积极限)如何收敛到极限 Hilbert 空间 $\cH$ 中算子对 $(H,H_0)$ 所关联的极限谱平移函数 $\xi(\cdot;H,H_0)$。我们的技术依赖于 Fredholm 行列式方法并结合若干测度论事实。特别地,我们证明了文献中关于谱平移函数的已有 vague 收敛结果,实际上可以推广到弱收敛的概念。更精确地说,在多维 Schrödinger 算子于穷尽 $\bbR^n$ 的区域序列 $\Omega_j$($j\to\infty$)上的具体情形中,我们将相应谱平移函数的收敛性由 vague 收敛提升为弱收敛,并将边界条件由 Dirichlet 条件推广到 $\partial\Omega_j$ 上更一般的自伴边界条件。