2x2 算子矩阵谱问题中激发态的算子解释

我们考虑算子矩阵 ${\bf H}= (A_0 B_{01} \\ B_{10} A_{1})$，其中对角项 $A_i$ 为自伴算子，$B_{01}=B_{10}^*$ 为有界算子，作用于 Hilbert 空间的正交和 ${\cal H}={\cal H}_0\oplus{\cal H}_1$。我们特别关注当 $A_1$ 的谱部分或全部嵌入 $A_0$ 的连续谱时的情况，以及传递函数 $M_1(z)=A_1-z+V_1(z)$（其中 $V_1(z)=B_{10}(z-A_0)^{-1}B_{01}$）通过 $A_0$ 连续谱分支的割线沿着传递到非物理薄片(s) 中的解析延拓。$z$ 在非物理薄片中且 $M_1^{-1}(z)$ 以及因此解析子 $(H-z)^{-1}$ 有极点的点通常称为激发态。本工作的主要目标是在寻找其谱包含激发态的非自伴算子，并研究激发态特征向量在 ${\cal H}_1$ 中的完备性与基底性质。为此，我们首先构造一个定义在 ${\cal H}_1$ 中具有算子性质的算子值函数 $V_1(Y)$，满足当 $Y$ 的特征向量 $\psi_1$ 对应特征值 $z$ 时，$V_1(Y)\psi_1=V_1(z)\psi_1$。我们进一步研究方程 $H_1=A_1+V_1(H_1)$。我们即使在 $A_0$ 与 $A_1$ 的谱重叠时也证明了该方程的可解性。通过利用解 $H_1$ 的根向量同时也是 $M_1(z)$ 的根向量，我们证明了包括激发态根向量在内的所有根向量的完备性乃至基底性质。