广义 Birman-Schwinger 原理及其在具分布势的一维 Schrödinger 算子中的应用

给定复 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 中有下界的自伴算子 $H_0$，相应的空间尺度 $\mathcal{H}_{+1}(H_0) \subset \mathcal{H} \subset \mathcal{H}_{-1}(H_0) = [\mathcal{H}_{+1}(H_0)]^*$，以及固定的 $V\in \mathcal{B}(\mathcal{H}_{+1}(H_0),\mathcal{H}_{-1}(H_0))$，我们定义算子值映射 $A_V(\,\cdot\,):\rho(H_0)\to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ 为 $$A_V(z):=-\big(H_0-zI_{\mathcal{H}} \big)^{-1/2}V\big(H_0-zI_{\mathcal{H}} \big)^{-1/2}\in \mathcal{B}(\mathcal{H}),\quad z\in \rho(H_0),$$ 其中 $\rho(H_0)$ 表示 $H_0$ 的预解集。假设 $A_V(z)$ 对于某个 $z=z_0\in \rho(H_0)$ 是紧的，且对于某个 $z=E_0\in (-\infty,0)$ 其范数严格小于 1，我们采用 Tiktopoulos 公式的抽象版本在 $\mathcal{H}$ 中定义算子 $H$，其形式上实现为 $H_0$ 与 $V$ 之和。随后我们为 $H$ 建立 Birman-Schwinger 原理，其中 $A_V(\,\cdot\,)$ 扮演 Birman-Schwinger 算子的角色：$\lambda_0\in \rho(H_0)$ 是 $H$ 的特征值当且仅当 $1$ 是 $A_V(\lambda_0)$ 的特征值。此外，$\lambda_0$ 和 $1$ 分别作为 $H$ 和 $A_V(\lambda_0)$ 的特征值，它们的几何重数（但不一定是代数重数）相等。作为具体应用，我们考虑具有 $H^{-1}(\mathbb{R})$ 分布势的一维 Schrödinger 算子。