自伴连续可逆算子谱的数值逼近

本文研究定义在无限维Hilbert空间上的连续可逆线性算子的广义谱。更确切地说，我们考虑两个有界、强制且自伴的算子 $\bc{A, B}: V\mapsto V^{\#}$，其中 $V^{\#}$ 表示 $V$ 的对偶，并研究在何种条件下 $\bc{B}^{-1}\bc{A}:V\mapsto V$ 的整个谱能被有限维离散化 $\bc{B}_n^{-1}\bc{A}_n$ 的特征值以任意精度逼近。由于 $\bc{B}^{-1}\bc{A}$ 是连续可逆的，此类研究不能使用一致（按范数）收敛的概念，而是依赖于 $\bc{B}_n^{-1}\bc{A}_n$ 到 $\bc{B}^{-1}\bc{A}$ 的逐点（强）收敛。本文的动机来自用于边值问题数值解的算子预处理。在此背景下，$\bc{A}, \bc{B}: H_0^1(\Omega) \mapsto H^{-1}(\Omega)$ 分别是微分算子 $-\nabla \cdot (k(x)\nabla u)$ 和 $-\nabla \cdot (g(x)\nabla u)$ 的标准积分/泛函表示，且 $k(x)$ 和 $g(x)$ 为标量系数函数。所研究的问题不同于数值PDE文献中基于紧算子框架内特征值逼近所研究的特征值问题。本工作延续了发表于[SIAM J. Numer. Anal., 57 (2019), pp.~1369-1394 与 58 (2020), pp.~2193-2211]的两篇近期论文开创的路径，并解决了第二篇文章末尾提出的开放问题之一。