关于 $(p,Q)$-谱半径的超图谱极值问题

设 $Q$ 为一个 $s$ 顶点 $r$ 均匀超图，设 $H$ 为一个 $n$ 顶点 $r$ 均匀超图。记 $\mathcal{N}(Q,H)$ 为 $H$ 中同构复制品的数量。对于一个 $r$ 均匀超图的hereditary族 $\mathcal{P}$，定义 $$\pi(Q,\mathcal{P}):=\lim\limits_{n\to \infty}\binom{n}{s}^{-1}\max\{\mathcal{N}(Q,H): H\in \mathcal{P}~~\mbox{and}~~|V(H)|=n\}.$$ 对于 $p\geq1$，定义 $H$ 的 $(p,Q)$-谱半径为 $$\lambda^{(p)}(Q,H):=\max_{\|\mathbf{x}\|_{p}=1}s!\sum_{\{i_{1},\ldots,i_{s}\}\in \binom{[n]}{s}}\mathcal{N}(Q,H[\{i_{1},\ldots,i_{s}\}])x_{i_{1}}\cdots x_{i_{s}}.$$ 在本文中，我们系统性地研究参数 $\lambda^{(p)}(Q,H)$。首先，我们证明极限 $$\lambda^{(p)}(Q,\mathcal{P}):=\lim\limits_{n\to \infty}n^{s/p-s}\max\{\lambda^{(p)}(Q,H): H\in \mathcal{P}~~\mbox{and}~~|V(H)|=n\}$$ 存在，并且对于 $p>1$，有 $$\pi(Q,\mathcal{P})=\lambda^{(p)}(Q,\mathcal{P}).$$ 其次，我们研究谱广义 Tur\'an问题。具体而言，我们建立了一个谱稳定性结果，并用于推导 Erd\H{o}s 五边形问题的谱版本：对于 $p\geq1$ 和足够大的 $n$，平衡 blow-up 的 $C_{5}$ 在所有 $n$ 顶点三角形自由图 $H$ 中可最大化 $\lambda^{(p)}(C_{5},H)$，从而改进了 Liu \cite{Liu2025} 的结果。此外，我们证明对于 $p\geq1$ 和足够大的 $n$，$l$ 部分 Tur\'an 图 $T_{l}(n)$ 在所有 $n$ 顶点 $F$-free 图 $H$ 中可最大化 $\lambda^{(p)}(K_{s},H)$，其中 $F$ 为一个边-临界图且 $\chi(F)=l+1$。这提供了一个关于 Ma 与 Qiu \cite{MQ2020} 定理的谱类比。