$(r,s)$-有向超图的 $(p,q)$-谱半径

一个 $(r,s)$-有向超图是指每条弧的尾含 $r$ 个顶点、头含 $s$ 个顶点的有向超图。设 $G$ 为一个 $(r,s)$-有向超图。对任意实数 $p, q\geq 1$，我们定义 $(p,q)$-谱半径 $\lambda_{p,q}(G)$ 为 $$\lambda_{p,q}(G):=\max_{||{\bf x}||_p=||{\bf y}||_q=1} \sum_{e\in E(G)}\Bigg(\prod_{u\in T(e)}x_u\Bigg)\Bigg(\prod_{v\in H(e)}y_v\Bigg),$$ 其中 ${\bf x}=(x_1, \ldots, x_m)^{{\rm T}}$，${\bf y}=(y_1,\ldots, y_n)^{{\rm T}}$ 为实向量；$T(e)$、$H(e)$ 分别为弧 $e$ 的尾与头。我们研究关于 $\lambda_{p,q}(G)$ 的一些性质，包括其界以及 $G$ 与其各连通分支间的谱关系。均匀超图的 $\alpha$-正规标号方法由 Lu 与 Man 于 2014 年引入，是研究均匀超图谱半径的有效方法。本文中，我们发展 $\alpha$-正规标号方法以计算 $(r,s)$-有向超图的 $(p,q)$-谱半径。最后，给出了 $\alpha$-正规标号方法的一些应用。