$k$-色 $r$-图的谱半径

对于 $r$-一致超图 $G$，设 $\lambda^{(p)}(G)$ 为其 $p$-谱半径，定义为 $G$ 的多项式形式在 $\ell_p$-范数单位球面上的最大值。设 $Q_k^r(n)$ 为具有尽可能相等的颜色类的、具有 $n$ 个顶点的完全 $k$-色 $r$-图。Kang--Nikiforov--Yuan 猜想，对于每个 $p\ge1$ 且 $n>(r-1)k$，在所有阶为 $n$ 的 $k$-色 $r$-图中，$r$-图 $Q_k^r(n)$ 是 $\lambda^{(p)}$ 的唯一最大化者。他们还猜想了相应的显式界限 $$\lambda^{(p)}(G) \le r!\left(\tbinom nr-k\tbinom{n/k}{r}\right)n^{-r/p},$$ 且等号仅在可整除的极值情况下成立。$r=3$ 的情况已在他们的工作中被证明。本文解决了剩余的 $r\ge4$ 的情况，从而对所有的 $r\ge3$ 证明了这两个猜想。作为推论，相同的阈值给出了一个反 Wilf 型谱证书：任何阶为 $n$ 且其 $p$-谱半径超过上述界限的 $r$-图，其色数至少为 $k+1$。