Mukai 的 $\overline{M}_7$ 模型中的一些奇异曲线

Mukai 证明了 GIT 商 $\operatorname{Gr}(7,16) /\!/ \operatorname{Spin}(10)$ 是 Deligne-Mumford 稳定亏格 7 曲线模空间 $\overline{M}_7$ 的一个双有理模型。关键观察是，一条一般的光滑亏格 7 曲线可实现为正交 Grassmann 流形 $\operatorname{OG}(5,10)$ 在 $\mathbb{P}^{15}$ 中与一个六维射影线性子空间的交。在 Mukai 模型的边界上会出现何种对象？作为该研究的第一步，我们利用 Macaulay2、Magma 和 Sage 中的计算机计算来寻找并分析产生三类奇异曲线例子的线性空间：一条 7-尖点曲线、亏格 7 的平衡带（ribbon）以及一族亏格 7 可约节点曲线。通过构造并求值一个不变多项式，确立了 $\operatorname{Spin}(10)$-半稳定性。