稳定三次五维超曲面的模空间的边界

我们研究了三次五维超曲面 $X\subset\mathbb{P}^6$ 模空间的 GIT 紧化 $\mathbb{P}(\mathrm{Sym}^3\mathbb{C}^7)//\mathrm{SL}(7)$，并给出了其严格半稳定边界的显式描述。我们构造了闭轨道标准型，并证明了严格半稳定轨迹恰好有 $21$ 个不可约分支。对于每个分支中的一般多稳定成员，我们确定了 $\mathrm{Sing}(X)$：除了有限多个孤立点外，奇点轨迹可能包含一维分支，该分支为一条直线、一条光滑圆锥曲线、一条 $(2,2)$ 完全相交曲线或一条四次椭圆曲线。孤立的边界奇点是拟齐次的，且恰好属于六种解析类型；我们将它们作为极值三次五维超曲面奇点单独列出。利用 Park 将极小指数与超曲面 GIT 稳定性联系起来的框架，我们证明了对于 $(n,d)=(6,3)$，每个边界分支均以临界值 $\alpha=(n+1)/d=7/3$ 为特征，这既对孤立的极值类型是局部成立的，也对分支的一般成员是全局成立的。最后，通过 Kirwan 的分层，我们计算了这 $21$ 个分支之间的余维为一的壁邻接关系，得到了一个具有 $21$ 个顶点和 $56$ 条边的显式图（特别地，没有孤立顶点）。