关于最优$(r,\delta)$局部可修复码改进界与构造的若干结果

具有$(r,\delta)$局部性的局部可修复码（LRCs）由Prakash等人引入分布式存储系统（DSSs），因其具有在同一局部组内通过其他$r$个存活节点本地修复至少$\delta-1$个擦除的优势。达到$(r,\delta)$ Singleton型界的LRC称为最优$(r,\delta)$ LRC。构造具有更长码长的最优$(r,\delta)$ LRC并确定最大码长，是近年来编码理论中的一个重要研究方向。本文中，我们对最优$(r,\delta)$ LRC最大码长的改进做了进一步研究。对于$2\delta+1\leq d\leq 2\delta+2$，我们的上界大幅改进了Cai等人的结果，并在某些特殊情况下是紧的。此外，我们推广了Chen等人的结果，得到了在有限射影平面$PG(2,q)$上几何存在意义下最优$(r=2, \delta)$-LRC的完整刻画。在此几何刻画下，我们基于向日葵结构构造了一类最优$(r,\delta)$ LRC。该构造与上界均优于先前的结果。