最优循环 $(r,\delta)$ 局部可修复码的构造

如果一个码的每个坐标都可以通过访问至多 $r$ 个其他坐标来修复，则称该码为 $r$-局部局部可修复码 (LRC)。当这 $r$ 个坐标中的一部分也被擦除时，$r$-局部 LRC 无法完成局部修复，这引出了 $(r,\delta)$-局部的概念。$q$ 元 $[n, k]$ 线性码 $\cC$ 被称为具有 $(r, \delta)$-局部性 ($\delta\ge 2$)，如果对于每个坐标 $i$，都存在 $\cC$ 的一个支撑包含 $i$ 的删余子码，其长度至多为 $r + \delta - 1$，且最小距离至少为 $\delta$。$(r, \delta)$-LRC 总共可以容忍 $\delta-1$ 个擦除，当 $\delta=2$ 时退化为 $r$-局部 LRC。如果一个 $q$ 元 $(r,\delta)$ LRC 满足 $(r,\delta)$-LRC 的类 Singleton 界，则称其为最优的。Tamo, Barg, Goparaju 和 Calderbank 基于 $q$ 元 Reed-Solomon 码构造了一类长度为 $n\mid q-1$ 的最优 $q$ 元循环 $r$-局部 LRC。在本文中，我们构造了一类长度为 $n\mid q-1$ 的最优 $q$ 元循环 $(r,\delta)$-LRC ($\delta\ge 2$)，推广了 Tamo \emph{et al.} 的结果。此外，我们构造了一类长度为 $n\mid q+1$ 的新最优 $q$ 元循环 $r$-局部 LRC，以及一类长度为 $n\mid q+1$ 的新最优 $q$ 元循环 $(r,\delta)$-LRC ($\delta\ge 2$)。当最小距离大于 $4$ 时，所构造的长度为 $n=q+1$ 的最优 LRC 在给定大小为 $q$ 的有限域上具有已知最佳的长度 $q+1$。