利用优良多项式构造最优 $(r,\delta)$-LRC 的新方法

局部可修复码（LRCs）是一类广泛用于分布式存储系统的纠删码，可在节点故障或数据丢失时高效恢复数据。2014 年，Tamo 与 Barg 基于多项式求值引入了类 Reed-Solomon（RS-like）Singleton 最优 $(r,\delta)$-LRC。这些构造依赖于所谓优良多项式的存在性，该多项式在 $\mathbb{F}_q$ 的某些两两不相交子集上取常值。本文扩展了上述 RS-like LRC 的构造，提出了码长可以更大的 $(r,\delta)$-LRC 新构造。这些新 $(r,\delta)$-LRC 均为距离最优，即达到本文所建立的最小距离上界。该界在某些情况下因额外条件比 Singleton 型界更紧，而在某些情况下与 Singleton 型界一致。将这些构造与已知特殊形式的显式优良多项式结合，可得到具有新参数的各类显式 Singleton 最优 $(r,\delta)$-LRC，其码长均大于 Tamo 与 Barg 所构造的 RS-like $(r,\delta)$-LRC。需注意，经典 RS 码与 RS-like LRC 的码长均受域大小限制。我们显式构造了长度为 $n=q-1+\delta$ 的 Singleton 最优 $(r,\delta)$-LRC，适用于任意正整数 $r,\delta\geq 2$ 且 $(r+\delta-1)\mid (q-1)$。当 $\delta$ 与 $q$ 成正比时，其码长渐近长于通过椭圆曲线构造的码（其长度至多为 $q+2\sqrt{q}$）。此外，它对 $r$ 和 $\delta$ 的取值允许更大灵活性。