最优线性码与字母最优 $(r,\delta)$-局部可修复码的一些新构造

在分布式存储系统中,局部可修复码(LRC)旨在通过使每个码符号能从少量其他符号恢复来降低磁盘 I/O 与修复成本。为应对多节点失效,引入了 $(r,\delta)$-LRC 以在多达 $\delta-1$ 个节点失效时实现局部恢复。构造最优 $(r,\delta)$-LRC 是过去十年的重要研究课题。在 \cite{Luo2022} 中,Luo 等人利用射影空间内某些射影子空间的并提出了一种线性码构造,构造了若干新类的 Griesmer 码与距离最优码,其中部分被证明是字母最优的 $2$-LRC。在本文中,我们首先通过考虑相交射影子空间更一般的情形,改进了 \cite{Luo2022} 中构造线性码的方法。这一改进使我们能构造具有更灵活参数的好码。此外,我们给出了所构造线性码成为 Griesmer 码或达到距离最优的条件。接下来,我们探究通过从完备射影空间中删去元素所构造线性码的局部性。我们工作的新颖之处在于确立了其局部性为 $(2,p-2)$、$(2,p-1)$ 或 $(2,p)$-局部性,而以往文献仅考虑 $2$-局部性。而且,通过结合码参数分析与 $(r,\delta)$-LRC 的 C-M 类界,我们构造了一些字母最优的 $(2,\delta)$-LRC,它们可能是 Griesmer 码也可能不是。最后,我们研究了由改进框架构造的 $(r,\delta)$-LRC 的可用性与字母最优性。