具有无界长度的最优循环 $(r,\delta)$ 局部可修复码

具有局部性 $r$ 的局部可修复码（简称 $r$-LRC）由 Gopalan 等人 \cite{1} 引入，用于从至多其他 $r$ 个可用节点恢复该码的一个失效节点。随后 Prakash 等人 \cite{2} 提出了 $(r,\delta)$ 局部可修复码（简称 $(r,\delta)$-LRC）以容忍多个失效节点。一个 $r$-LRC 可视为 $(r,2)$-LRC。若达到 Singleton 型界，则称 $(r,\delta)$-LRC 为最优的。构造长度远大于 $q$ 的 $q$ 元最优 $(r,\delta)$-LRC 一直是一项巨大挑战。令人惊讶的是，Luo 等人 \cite{3} 通过循环码给出了最小距离分别为 3 和 4、具有无界长度（即这些码的长度与 $q$ 无关）的 $q$ 元最优 $r$-LRC 的构造。本文受 \cite{3} 工作启发，首先构造了两类具有无界长度且最小距离为 $\delta+1$ 或 $\delta+2$ 的最优循环 $(r,\delta)$-LRC，推广了 \cite{3} 中关于 $\delta=2$ 情形的结果。其次，在稍强的条件下，我们给出了具有无界长度和更大最小距离 $2\delta$ 的最优循环 $(r,\delta)$-LRC 的构造。此外，当 $\delta=3$ 时，我们给出另一类具有无界长度和最小距离 $6$ 的最优循环 $(r,3)$-LRC。