最优局部可修复码的扩展

近期研究聚焦于从函数域构建具有最优最小距离的局部可修复码 (LRC)。本文提出了若干新构想, 通过扩展文献中所述的最优设计局部可修复码的发现。设 $C$ 为局部为 $r$ 的最优 LRC, 这意味着 $C$ 的每个可修复块都是 $[r+1, r]$ 的 MDS 码, 且 $C$ 在最小距离方面最大化。在扩展其中一个这些块的一个坐标后, 我们证明得到的代码仍为最优设计的局部可修复码。这表明, 基于有理函数域的最优 LRC的最大长度可扩展至有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的 $q+2$。此外, 我们给出一种通过在 $C$ 中的每个块中扩展一个坐标来构造最优 $(r, 3)$-LRC 的新方法。 Furthermore, 我们提出一种在 certain conditions 下最优的 Roth-Lempel 类型 LRC 的新系列。最后, 我们探索了来自椭圆函数域的优化 LRC, 并扩展了此类代码的一个坐标。该方法使我们能够确认新的代码也是最优的, 从而允许其长度达到 $q + 2\sqrt{q} - 2r - 2$，局部为 $r$。我们还考虑了在椭圆函数域中构造最优 $(r, 3)$-LRC, 并探索了另一个条件。