MC-fPINNs 求解分数 Poisson 方程逆源问题

本文我们使用 MC-fPINNs 有效求解分数 Poisson 方程的逆源问题。我们构建两个神经网络 $u_{NN}(x;\theta )$ 和 $f_{NN}(x;\psi)$ 来分别近似分数 Poisson 方程的解 $u^{*}(x)$ 和源项 $f^{*}(x)$。为了优化这两个神经网络，我们使用 MC-fPINNs 中提出的蒙特卡洛抽样方法，并定义一种结合测量数据和底层物理模型的新损失函数。同时，我们本文提出了该方法的完整误差分析，并给出选择神经网络参数的先验规则。给出了多个数值例子，演示了该方法在求解最高可达10维的问题、各种分数阶数 $\alpha$ 以及测量数据噪声水平从1%到10%范围内的不同情况下的高精度和鲁棒性。