蒙特卡洛 PINNs：求解高维分数阶偏微分方程正问题与反问题的深度学习方法
机器学习
2022-09-28 v1 数值分析
数值分析
摘要
我们提出一种基于采样的机器学习方法——蒙特卡洛物理信息神经网络（MC-PINNs），用于求解正问题与反问题的分数阶偏微分方程（FPDEs）。作为物理信息神经网络（PINNs）的推广，我们的方法依赖于深度神经网络代理模型，以及用于计算 DNN 输出分数阶导数的随机近似策略。MC-PINNs 的一个关键要素是在损失函数中构造物理软约束的无偏估计。与 \cite{pang2019fpinns} 中提出的 fPINNs 相比，我们的直接采样方法可产生更少的总体计算成本，从而为求解高维分数阶 PDE 提供了机会。我们通过若干算例验证了 MC-PINNs 方法的性能，包括高维积分分数阶拉普拉斯方程、时空格分数阶 PDE 的参数辨识，以及带随机输入的分数阶扩散方程。结果表明，MC-PINNs 在应对高维 FPDEs 方面灵活且有前景。
引用
@article{arxiv.2203.08501,
title = {Monte Carlo PINNs: deep learning approach for forward and inverse problems involving high dimensional fractional partial differential equations},
author = {Ling Guo and Hao Wu and Xiaochen Yu and Tao Zhou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2203.08501},
year = {2022}
}