GMC-PINNs：用于求解不规则域上分数偏微分方程的通用蒙特卡洛 PINNs 方法
机器学习
2024-05-02 v1
摘要
物理信息神经网络 (Physics-Informed Neural Networks, PINNs) 已被广泛用于求解不同类型的偏微分方程 (PDEs)，包括分数偏微分方程 (fractional PDEs, fPDEs) [29]。本文提出了一种新的通用(准)蒙特卡洛 PINN 方法，用于在不规则域上求解 fPDE。具体而言，与以前在 [31] 中通过蒙特卡洛积分近似分数导数不同，我们使用更通用的蒙特卡洛近似方法来求解不同的 fPDE，这种方法适用于任何分数定义。此外，基于集合概率密度函数，生成的节点全部位于进行微分的目标点附近的稠密区域。这与已知的非等距或嵌套网格上的有限差分方法存在意想不到的联系，因此本方法继承了这些方法的优势。同时，生成的节点呈块状稠密分布，导致该方法具有良好的计算效率。我们present该算法的框架并应用于多个示例。我们的结果表明，GMC-PINNs 在处理不规则域问题方面有效，并且相较于原始 fPINN 方法具有更高的计算效率。我们还包括与蒙特卡洛 fPINN [31] 的比较。最后，我们通过示例表明该方法在处理模糊边界位置问题方面的有效性，然后将其用于求解在人脑颅内域中定义的耦合 3D 分数 Bloch-Torrey 方程，并与经典数值方法进行比较。
引用
@article{arxiv.2405.00217,
title = {GMC-PINNs: A new general Monte Carlo PINNs method for solving fractional partial differential equations on irregular domains},
author = {Shupeng Wang and George Em Karniadakis},
journal= {arXiv preprint arXiv:2405.00217},
year = {2024}
}