面向高维分数阶偏微分方程的求积增强 Monte Carlo fPINN 方法

涉及有界域上分数阶拉普拉斯算子的分数阶偏微分方程具有挑战性，原因在于超奇异非局部核、外部 Dirichlet 约束、降低的边界正则性以及高维情况下的高计算成本。为了解决这些问题，我们首先采用包含到边界方向距离信息的空间变化半径，这产生了分数阶拉普拉斯算子的几何自适应三部分分解：奇异近场、规则内部远场和解析外部远场贡献。然后，我们对奇异径向积分采用 Gauss-Jacobi 求积，对规则内部径向积分采用 Gauss 求积，对角度变量采用 Monte Carlo 抽样。最后，使用特征增强的物理信息神经网络试函数空间来处理边界附近的低正则性行为。通过上述步骤，我们得到了一种求积增强 Monte Carlo 分数阶物理信息神经网络（QE-MC-fPINN）方法。在分数阶 Poisson 方程和时间依赖分数阶偏微分方程上的数值实验表明，在测试的基准上，所提方法在精度和收敛性上优于两种代表性的 MC-fPINN 离散化方法，特别是对于具有强边界奇异性的解。