基于傅里叶混合物理信息神经网络求解一类多尺度椭圆偏微分方程
数值分析
2023-08-07 v6 数值分析
摘要
深度神经网络因其简洁与灵活在工程和科学计算领域广受关注。本研究探究利用基于傅里叶的混合物理信息神经网络（称为 FMPINN）求解一类具有多尺度的椭圆偏微分方程（PDEs），其求解器配置为一个多尺度深度神经网络。与经典 PINN 方法相比，引入了关于 PDE 粗糙系数的对偶（通量）变量，以避免多尺度 PDE 振荡系数导致的神经正切核矩阵病态。因此，除物理守恒律外，将辅助变量与多尺度系数梯度之间的差异纳入代价函数，进而通过若干优化方法最小化所定义损失获得满意的 PDE 解。此外，为 FMPINN 引入三角函数激活函数，适于表示复杂目标函数的导数。通过傅里叶特征映射处理输入数据将有效提升深度神经网络求解高频问题的能力。最后，为验证所提 FMPINN 算法的效率与鲁棒性，我们给出了多种维度欧氏空间中多尺度问题的若干数值算例。这些算例涵盖低频与高频振荡情形，证明了我们方法的有效性。本稿件附带的全部代码与数据将公开于 \href{https://github.com/Blue-Giant/FMPINN}{https://github.com/Blue-Giant/FMPINN}。
引用
@article{arxiv.2306.13385,
title = {Solving a class of multi-scale elliptic PDEs by means of Fourier-based mixed physics informed neural networks},
author = {Xi'an Li and Jinran Wu and You-Gan Wang and Xin Tai and Jianhua Xu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2306.13385},
year = {2023}
}