用于求解含噪声的一般型和多尺度椭圆 PDE 的增强 BPINN 训练收敛性
机器学习
2025-05-06 v2 数值分析
数值分析
摘要
贝叶斯物理信息神经网络 (BPINN) 因能够根据带噪声观测数据推断微分方程的系统状态和物理参数而引起广泛关注。然而在实际应用中，Hamiltonian Monte Carlo (HMC) 用于估计 BPINN 求解器内部参数时，常常会遇到步长给定后性能差和收敛差的问题。为解决 HMC 在 BPINN 方法中的收敛问题，并扩展其在多尺度偏微分方程 (PDE) 中的应用范围，我们开发了一种鲁棒的多尺度 BPINN (称之为 MBPINN) 方法，通过集成多尺度深度神经网络 (MscaleDNN) 和 BPINN 框架实现。在该新提出的 MBPINN 方法中，我们将 HMC 与随机梯度下降 (SGD) 重构，以确保始终提供最“可能”的估计，并将其求解器配置为由傅里叶特征映射诱导的 MscaleDNN。该新方法具有以下几个关键优势：(1) 比 HMC 更稳健；(2) 比 HMC 的计算成本更低；(3) 对于复杂问题更灵活。我们通过一维和二维欧几里得空间中的一些一般泊村方程和多尺度椭圆问题演示了所提方法的适用性和性能。我们的发现表明，该方法可以避免 HMC 的失败，提供有效结果。此外，该方法能够处理复杂的椭圆型 PDE，并在信噪比较低的情况下，为一般椭圆型 PDE 产生可比的结果。这些发现表明，我们提出的方法在物理信息机器学习中具有很大的潜力，可用于带不确定性问题的参数估计和解的恢复。
引用
@article{arxiv.2408.09340,
title = {Enhanced BPINN Training Convergence in Solving General and Multi-scale Elliptic PDEs with Noise},
author = {Yilong Hou and Xi'an Li and Jinran Wu and You-Gan Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2408.09340},
year = {2025}
}