隐层拼接物理信息神经网络求解偏微分方程的误差分析与数值算法

我们提出了隐层拼接物理信息神经网络 (HLConcPINN) 方法，该方法结合了隐层拼接前馈神经网络、改进的分块时间推进策略以及物理信息方法，用于逼近偏微分方程 (PDE)。我们分析了两类 PDE 的收敛性质并建立了该方法的误差界：抛物型（以热方程和 Burgers 方程为例）和双曲型（以波动方程和非线性 Klein-Gordon 方程为例）。我们表明，对于长时间跨度的动力学模拟，其解的逼近误差可以得到训练损失的有效控制。HLConcPINN 方法原则上允许不小于两层的任意数量隐层，并且对于前两层之后的隐层允许使用任何常用的平滑激活函数，且具有理论保证。这推广了几种现有的神经网络技术，这些技术虽有理论保证，但在网络架构上仅限于两层隐层和 $\tanh$ 激活函数。我们的理论分析随后为这些 PDE 指导了适当训练损失函数的构建，从而产生了不同于标准 PINN 公式的物理信息神经网络 (PINN) 类计算算法。基于所提出的算法进行了大量数值实验，以验证该方法的有效性并证实理论分析的各个方面。