物理信息神经网络逼近二阶时间动态偏微分方程的误差分析

我们考虑用物理信息神经网络（PINN）方法逼近一类二阶时间的动态偏微分方程（PDE），并对PINN用于波动方程、Sine-Gordon方程和线性弹性动力学方程的误差进行分析。我们的分析表明，对于具有两个隐藏层和$\tanh$激活函数的前馈神经网络，解场、其时间导数及其梯度场的PINN逼近误差可有效由训练损失和训练数据点（求积点）数量界定。我们的分析进一步建议了训练损失函数的新形式，其包含某些对误差估计至关重要但标准PINN损失公式中缺失的残差。采用这些新形式的损失函数得到了一种变体PINN算法。我们给出了新PINN算法在波动方程、Sine-Gordon方程和线性弹性动力学方程上的充分数值实验，表明该方法能良好捕捉解。