物理信息神经网络（PINNs）逼近 Kolmogorov 偏微分方程的误差分析
数值分析
2021-07-13 v2 机器学习
数值分析
摘要
物理信息神经网络通过最小化逐点残差来逼近 PDE 的解。我们针对一大类线性抛物型 PDE（即 Kolmogorov 方程，包括热方程和期权定价的 Black-Scholes 方程作为例子）推导了 PINNs 在逼近其解时所产生误差的严格界。我们构造了神经网络，其 PINN 残差（泛化误差）可任意小。我们还证明了总 误差可由泛化误差界定，而泛化误差又可在使用足够数量的随机选取的训练（配置）点的条件下由训练误差界定。此外，我们证明了 PINNs 的规模与训练样本数量仅随潜在维度多项式增长，使 PINNs 在此背景下能够克服维数灾难。这些结果使我们能够对 PINNs 逼近 Kolmogorov PDE 提供全面的误差分析。
引用
@article{arxiv.2106.14473,
title = {Error analysis for physics informed neural networks (PINNs) approximating Kolmogorov PDEs},
author = {Tim De Ryck and Siddhartha Mishra},
journal= {arXiv preprint arXiv:2106.14473},
year = {2021}
}