从蒙特卡洛到边界值问题的神经网络逼近

本文研究 $\mathbb{R}^d$ 中一般有界域内满足 Hölder 数据的泊松方程解的随机与神经网络逼近。我们旨在实现两个基本目标。首要且最重要的是，我们证明泊松方程的解可在上确界范数下由蒙特卡洛方法数值逼近，且若采用改进版的球上行走算法作为加速方法，可高效完成。这给出了关于预设逼近误差高效、关于维数与误差倒数具多项式复杂度的估计。一个关键特征是样本总数不依赖于进行逼近的点。作为第二目标，我们证明所得蒙特卡洛求解器以构造性方式给出泊松问题的 ReLU 深度神经网络（DNN）解，其规模至多随维数 $d$ 与期望误差多项式增长。事实上，我们证明该随机 DNN 以高概率提供小的逼近误差及关于维数的低多项式复杂度。