非交换环面上的孤子作为椭圆Calogero-Gaudin模型、膜和Laughlin波函数

对于非交换环面${\cal T}$，在N.C.参数$\theta = \frac{Z}{n}$的情况下，我们用$n$个孤子的位置$z_i$的$\theta$函数构造了希尔伯特空间${\cal H}_n$的基。环面上的环绕生成了代数${\cal A}_n$，即$\theta$函数上的$Z_n \times Z_n$海森堡群。我们找到了局部椭圆$su(n)$的生成元$g$，它们通过${\cal A}_n$的整体规范变换协变地变换。通过作用于${\cal H}_n$，我们建立了${\cal A}_n$与$g$的同构。我们将这个$g$嵌入到椭圆Gaudin模型的$L$-矩阵中，以给出动力学。这个$su_n({\cal T})$余切丛的矩映射与带有Fayet-Illiopoulos源项的$D$-方程匹配，因此N.C.孤子的动力学变成了膜的动力学。谱曲线${\rm det}|L(u) - k| = 0$的几何构型$(k, u)$描述了膜构型，其中N.C.孤子的动力学变量$z_i$作为模$T^{\otimes n} / S_n$。此外，在用于量子霍尔效应的N.C. Chern-Simons理论中，带有准粒子源的约束方程也被识别为带有标记点的N.C. $su_n({\cal T})$余切丛的矩映射方程。Gaudin微分$L$-算符的本征函数作为Laughlin波函数，通过Bethe ansatz求解。