非交换 n 环面上的伪微分算子理论

谱几何的方法对于研究非交换几何的度量方面很有用，并且在这样的语境中需要广泛使用伪微分算子。在一篇奠基性论文中，Connes 表明，通过与 $\mathbb R^n$ 上伪微分算子理论直接类比，可以在非交换 $n$ 环面 $\mathbb T_{\theta}^n$ 上导出类似的伪微分演算，并且随着该演算的发展，出现了许多关于非交换环面局部微分几何的结果（对于 $n=2,4$），如在证明 $\mathbb T_{\theta}^2$ 上 Gauss--Bonnet 定理的开创性论文及后来的论文中所示。原演算推导的证明中某些细节被略去，例如振荡积分的估计，因此我们将填补所有细节作为本文的目标。在更详细地重新证明伪微分算子的伴随符号公式和两个伪微分算子乘积符号公式之后，我们定义相应的 Sobolev 空间的类似物，并证明其 Sobolev 和 Rellich 引理。然后我们将这些结果推广到非交换 $n$ 环面上的有限生成投射右模。