紧致齐性流形上齐性向量丛的伪微分算子

在本工作中，我们引入了作用于可定向紧致齐性流形上任意齐性向量丛的次椭圆伪微分算子的全局理论。我们将证明，若作用在 $M=G/K$ 上的紧致李群 $G$ 被赋予（黎曼或）次黎曼结构，则可对作用于以 $M$ 为底空间的任意一对齐性向量丛上的算子关联一个全局伪微分运算。若我们在 $G$ 上选取与 H"ormander 向量场系统相关联的次拉普拉斯算子，或固定 $G$ 上的 Laplace-Beltrami 算子，这总是可行的。我们首先为 $G$ 上的向量值伪微分算子发展全局次椭圆符号运算，然后证明该向量值运算诱导了齐性向量丛上的伪微分运算，该运算在复泛函运算的作用下是稳定的。我们证明了 Calder\'on-Vaillancourt 定理、Fefferman 定理以及 G\r{a}rding 不等式的全局版本。我们展示了所得 G\r{a}rding 不等式在发展问题适定性中的应用。我们用全局符号刻画了 H"ormander 意义下齐性向量丛上的伪微分算子类（其通过局部坐标系定义）。最后，利用该形式体系，我们计算了外微分及其伴随算子的全局符号，以及 Dirac 算子在微分形式向量丛上的符号。我们希望这项工作能为利用紧致齐性流形（及其上向量丛）上算子的全局量子化开展进一步研究提供坚实基础。