弯曲非交换环面上的 Connes 迹定理及其在数量曲率中的应用

本文证明了任意维数 $n\geq 2$ 非交换环面上的一个 Connes 迹定理版本。这使我们能够恢复并改进 Fathizadeh-Khalkhali 在维数 $n=2$ 和 $n=4$ 时的早期结果。我们也恢复了 McDonald-Sukochev-Zanin 关于平坦非交换环面的 Connes 积分公式。作为进一步应用，我们用任意黎曼度量定义的 Laplace-Beltrami 算子证明了该积分公式的弯曲版本。对于所谓自相容黎曼度量的类（包括 Connes-Tretkoff 的共形平坦度量），这表明 Connes 非交换积分使我们能够恢复黎曼密度。这展示了这种非交换积分概念与算子代数意义下的非交换测度论之间的清晰联系。作为这些结果的应用，我们为弯曲非交换环面建立了一个自然的数量曲率概念。