膜场的拓扑方面：孤子与高阶形式对称性

在本札记中，我们对 $n$-膜场（即描述 $n$ 维扩展对象的非局域场）的拓扑孤子进行分类。我们考虑一类 $n$-膜场，其形式上定义了从时空 $X_D$ 的 $n$ 重环路空间 $\Omega^n X_D$ 到空间 $\mathcal{E}_n$ 的同态。此类 $n$-膜场的例子包括 $n$-形式规范理论中的 Wilson 算符。孤子是 $n$-膜场的奇点，我们使用 ${\mathbb{E}_n}$-代数的同伦理论对它们进行分类。我们发现，余维数为 ${k+1}$ 的拓扑孤子（其中 ${k\geq n}$）的分类可利用 $\mathcal{E}_n$ 的同伦群理解。特别地，当 ${n>1}$ 时它们由 ${\pi_{k-n}(\mathcal{E}_n)}$ 分类，而当 ${n=0}$ 或 ${1}$ 时由 ${\pi_{k-n}(\mathcal{E}_n)}$ 模一个 ${\pi_{1-n}(\mathcal{E}_n)}$ 作用分类。然而，对于 ${n>2}$，当 ${k< n}$ 时其分类超出了 $\mathcal{E}_n$ 的同伦群，我们通过例子对此进行探讨。我们将此分类与 $n$-形式 $\mathcal{E}_n$ 规范理论进行比较。随后我们应用此分类，考虑一个由阿贝尔群 ${G^{(n)}}$ 描述的 ${n}$-形式对称性，其自发破缺到 ${H^{(n)}\subset G^{(n)}}$，表征该对称性破缺模式的有序参量是一个以 ${\mathcal{E}_n = G^{(n)}/H^{(n)}}$ 为目标空间的 ${n}$-膜场。我们在许多例子中讨论此分类，包括有和没有 't Hooft 反常的情况。