弱非线性拓扑系统中的孤子:线性化、等变上同调与 K 理论

关于具有周期势的非线性 $d$ 维系统的拓扑不变量知识匮乏。我们通过分类其孤子解周围的线性化 NLS/GP 方程来研究这些系统。线性化(模)绝热演化下的稳定性条件可被拓扑地解释,且我们可使用等变 $\mathit{K}$-理论和上同调对其进行分类。在具有晶体学点群 $P$ 的晶格上,稳定、$P$-对称孤子周围的模由群 $\bar{\mathit{K}}_{P}^{0,\tau}(\mathbb{T}^d)\oplus H^2(BP;\mathbb{Z})$ 粗略分类。类似地,对于振荡稳定的 $P$-对称隙孤子,我们改为有 $\bar{\mathit{K}}_{P}^{0,\tau}(\mathbb{T}^d)\oplus \tilde{R}(P)$。若包含边界,我们可用 $\mathit{K}^{-1,\tau}_{P}(\mathbb{T}^{d-1})$ 替换 $\bar{\mathit{K}}_{P}^{0,\tau}(\mathbb{T}^d)$。最后,我们提及如何使用这些以及孤子解空间 $M_{D}(E_{gap})$ 和 $M_{O}(E_{gap})$ 来提供系统的全局不变量。