再探常微分方程的缓增解

考虑微分方程 $f''+Af=0$ 的解，假设 $A$ 在单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内解析且满足 \begin{equation} \label{eq:dag} \sup_{z\in\mathbb{D}} \, |A(z)| (1-|z|^2)^2 \log\frac{e}{1-|z|} < \infty. \tag{$\star$} \end{equation} 根据文献中的近期结果，此类限制已被关联到能使所有解均落入 Bloch 空间 $\mathcal{B}$ 的系数条件。本文证明，任何蕴含式 \eqref{eq:dag} 的系数条件都无法检测到 Bloch 解确实出现的某些情形。同时也探讨了其逆问题：若 $f''+Af=0$ 的所有解均属于 $\mathcal{B}$，关于系数 $A$ 的增长性能得出何种结论？本文对缓增解进行了全面的重新审视，重点关注函数空间 $\mathcal{B}$、$\rm{BMOA}$ 和 $\rm{VMOA}$。